Gleichungssysteme

Eine lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen (x und y) hat die allgemeine Form:

 I: a · x + b · y = c
II: d · x + e · y = f

a, b, c, d, e, f .... Zahlen
x, y......................Variablen

Beim Lösen von linearen Gleichungen mit zwei Variablen gibt es verschiedene Verfahren. 

• Additionsverfahren
• Gleichsetzungsverfahren
• Einsetzungsverfahren
• Grafisches Verfahren

Welches Verfahren am geeignetsten ist, hängt von dem Gleichungssystem ab. 

Beispiel:
 I: 6 · x + 3 · y = 18
II: 8 · x + 6 · y = 24

Beim Lösen des Gleichungssystem sucht man Werte (Zahlen) die, wenn sie für x und y eingesetzt werden, ein korrektes Ergebnis liefern. In diesem Fall liefern die Zahlen x=3 und y=0 ein korrektes Ergebnis.

 I: 6 · 3 + 3 · 0 = 18
II: 8 · 3 + 6 · 0 = 24

Wenn du das Additionsverfahren verwendest musst du folgendermaßen vorgehen:

1. Die Gleichungen müssen so umgeformet werden, dass die Variablen auf einer Seite vom Gleichheitszeichen (normalerweise links) und die Zahl auf der anderen Seite des Gleichheitszeichen (normalerweise rechts) stehen.
2. Die Gleichungen müssen so erweitert werden, dass eine Variable (x oder y) sich nur noch durch das Vorzeichen (+ und -)  unterscheidet.
3. Die Gleichungen werden addiert (x-Werte addieren, y-Werte addieren, Zahlen addieren) damit eine Variable wegfällt.
4. Es entsteht eine Gleichung mit einer Variablen (x oder y), die nun berechnet werden kann.
5. Der berechnet Wert (x-Wert oder y-Wert) wird anschließend in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen eingesetzt um den noch fehlenden Wert berechnen zu können.

Beispiel:
 I: 3y = 26 - 4x
II: 3x = 3 + 6y

1. Gleichung umformen:
 I: 3y = 26 - 4x    | +4x
II: 3x = 3 + 6y     | - 6y
-----------------------------------
2. Gleichungen erweitern:
 I: 4x + 3y = 26    | ·2
II: 3x - 6y = 3     

 I: 8x + 6y = 52
II: 3x - 6y = 3     
-----------------------------------
3. Gleichungen addieren:
I+II: 11x = 55
-----------------------------------
4. Erste Variable berechnen:
      11x = 55          | :11
        x = 5
-----------------------------------
5. Zweite Variable berechnen:
 I: 3y = 26 - 4·5
 I: 3y = 26 - 20
 I: 3y = 6
 I:   y = 2

Wenn du das Gleichsetzungsverfahren verwendest musst du folgendermaßen vorgehen:

1. Die Gleichungen müssen nach einer Variablen (x oder y) umgeformet werden.
2. Die umgeformten Gleichungen werden jetzt gleichgesetzt.
3. Es entsteht eine Gleichung mit einer Variablen (x oder y), die nun berechnet werden kann.
4. Der berechnet Wert (x-Wert oder y-Wert) wird anschließend in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen eingesetzt um den noch fehlenden Wert berechnen zu können.

Beispiel:
 I: y + 4 = 2x
II: y + 1x = 5

1. Gleichung umformen:
 I: y + 4 = 2x    | - 4
II: y + 1x = 5     | - 1x
-----------------------------------
2. Gleichungen gleichsetzen:
 I: y = 2x - 4
II: y = 5 - 1x     

2x - 4 = 5 - 1x    
-----------------------------------
3. Erste Variable berechnen:
2x - 4 = 5 - 1x       | +1x    
3x - 4 = 5              | +4
      3x = 9             | :3
      x = 3
-----------------------------------
4. Zweite Variable berechnen:
 I: y + 4 = 2·3
 I: y + 4 = 6           | -4
 I:   y = 2

Wenn du das Einsetzungsverfahren verwendest musst du folgendermaßen vorgehen:

1. Eine der beiden Gleichungen muss nach einer Variablen (x oder y) umgeformet werden.
2. Die umgeformten Gleichunge wird anschließend in die andere Gleichung eingesetzt.
3. Es entsteht eine Gleichung mit einer Variablen (x oder y), die nun berechnet werden kann.
4. Der berechnet Wert (x-Wert oder y-Wert) wird anschließend in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen eingesetzt um den noch fehlenden Wert berechnen zu können.

Beispiel: 
 I: 3·y = 20 + 5·x
II: 2·x = 2·y - 16

1. Gleichung umformen:
II: 2·x = 2·y - 16       | :2
II: x = y - 8
-----------------------------------
2. Gleichung einsetzen:
 I: 3·y = 20 + 5·(y - 8)
-----------------------------------
3. Erste Variable berechnen:
 I: 3·y = 20 + 5·(y - 8)
 I: 3y = 20 + 5y - 40
 I: 3y = 5y - 20           | - 3y
 I: 0 = 2y - 20            | + 20
 I: 20 = 2y                 | : 10
 I:      y = 10
-----------------------------------
4. Zweite Variable berechnen:
II: 2·x = 2·10 - 16
II: 2x = 20 - 16
II: 2x = 4                   | : 2
II: x = 2
 

• Beim grafischen Verfahren werden die Gleichungen nach der y-Variablen (=Lineare Funktion) umgeformt.
• Die Gleichungen (Funktionen) werden in ein Koordinatensystem gezeichnet.
• Die Koordinaten des Schnittpunktes (x|y) entspricht der Lösung des Gleichungssystems.

Wenn du das grafische Verfahren verwendest musst du folgendermaßen vorgehen:

1. Die Gleichungen müssen nach der y-Variablen (=Lineare Funktion) umgeformt werden.
2. Die umgeformten Gleichungen werden in ein Koordinatensystem gezeichnet.
3. Die Koordianten des Schnittpunktes (x|y) entsprechend der Lösung des Gleichungssystems.

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